Fatoração de Expressões Algébricas

Fatoração de um número

Fatorar um número significa representa-lo pela multiplicação de dois ou mais fatores que são divisores do número em questão.

É possível representar um número como uma multiplicação de dois ou mais fatores. Observe, por exemplo, estas formas de representar o número 60:

60 = 6 x 10          60 = 4 x 3 x 5         60 = 2² x 3 x 5

Assim, efetua-se a fatoração, ou decomposição,do número 60. Observe que, em cada caso, os fatores são divisores do número fatorado. No terceiro caso, tem-se o número 60 representado pela multiplicação de fatores primos( lembrando: número primo é aquele que tem apenas dois divisores distintos, o 1 e ele mesmo).

Exemplos:

• O produto 3 x 15 é uma forma fatorada do número 45.
• O produto 2 x 3 x 7 é uma forma fatorada do número 42.
• O produto 1 x 13 é a forma fatorada do número 13.
  
  
  
  
  Fator comum em evidência  
  
  
  Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:
  
  
  No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
  
  
  x² + 2x → x * (x + 2)
  x² : x = x
  2x : x = 2
  
  
  Veja mais exemplos de fatoração por evidência:
  
  
  4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)
  4x³ : 2x² = 2x
  2x : 2x = 1
  
  
  16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
  16x² : 8 = 2x²
  8 : 8 = 1
  
  
  
  
  Agrupamento
  
  

A expressão ax + bx + ay + by representa a soma de quatro parcelas e não há nenhum fator comum para as quatro.

No entanto, se agruparmos ax + bx ou ay + by podemos colocar em evidência tanto o x quanto o y. Assim, a expressão transforma-se em duas parcelas, e em ambas aparecerá um novo fator comum a + b, também podendo ser colocado em evidencia. 

Observe:

ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (a + b) . (x + y). 

Exemplos 

ax + ay + 2x + 2y = a (x +y) +2 . (x + y) = (x + y) . (a + 2).

mm + 3m + 4n + 12 = m . (n + 3) + 4 . (n + 3) = (n + 3) . (m + 4).

a2 – ab – 2a + 2b = a . (a – b) – 2 . (a – b) = (a – b) . (a – 2).

a2 + ab + a + b = a . (a + b) + 1 . (a + b) = (a + b) . (a + 1).

mn – m – n + 1 = m . (n – 1) – 1 . (n – 1) = (n – 1) . (m – 1).

Diferença de dois quadrados

Para compreendermos melhor como e quando utilizarmos é necessário que saibamos que diferença na matemática é o mesmo que subtração e que quadrado é elevar um número, letra ou termos ao quadrado. 

A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando: 

- Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). 
- Os dois monômios sejam quadrados. 
- A operação entre eles for de subtração. 

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo: 


• a² - 1, a expressão algébrica tem apenas dois monômios, os dois estão ao quadrado e entre eles há uma operação de subtração. 
• 1 – a² 
   3 
• 4x² – y² 

^{Trinômios quadrados perfeitos}

 Para fatorar uma expressão algébrica utilizando o trinômio quadrado perfeito a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito.

Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito.

Trinômio 
Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3 monômios. Veja alguns exemplos de trinômios:

x³ + 2x² + 2x

- 2x⁵ + 5y – 5

ac + c – b

É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito.

Quadrado perfeito

Veja a demonstração do que é um quadrado perfeito:

Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois 6² = 36.
Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais) abaixo com lados x + y. O valor desse lado é uma expressão algébrica.



Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado², então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A1 = (x + y) . (x + y) que é o mesmo que A1 = (x + y)², então podemos dizer que:

O resultado dessa área A1 = (x + y)² é um quadrado perfeito.

2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos, onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A2 = x² + xy + xy + y², como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A2 = x² +2xy + y²

O resultado da área A2 = x² +2xy + y² é um trinômio.


As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

  A1       =         A2
(x + y)² = x² +2xy + y2

Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x² +2xy + y² fatorado fica (x + y)².

Como já foi dito, nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa identificação:

Quando um trinômio é quadrado perfeito

O quadrado perfeito (x + y)² é composto por dois fatores (x e y). A resolução dele é um trinômio x²+2xy + y². O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.

Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer quadrado perfeito.

Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo um resumo podemos dizer que:

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja alguns exemplos:

Veja se o trinômio 9a² – 12ab + 4b² é um quadrado perfeito. Para isso, siga as regras que foram citadas.



Dois membros do trinômio 9a² – 12ab + 4b² têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio 9a² – 12ab + 4b² é (3a – 2b)², pois é a soma das raízes ao quadrado.

Exemplo:

Dado o trinômio 4x² – 8xy + y², devemos tirar as raízes dos termos 4x² e y², as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

Soma de dois cubos

A Soma de dois cubos é o caso de fatoração de expressões algébricas, para que entenda como e quando devemos utilizá-lo observe a sua demonstração abaixo: 

Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x² - xy + y², agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas. 

(x + y) (x² - xy + y²) utilize a propriedade distributiva 

x³ - x²y + xy² + x²y –xy² + y³ unir os termos semelhantes 

x³ + y³ é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados. 

Assim, podemos concluir que x³ + y³ é uma forma geral da soma de dois cubos onde 
x e y poderão assumir qualquer valor real. 

A forma fatorada de x3 + y3 será (x + y) (x² - xy + y²). 

Veja alguns exemplos: 

Exemplo1: 
a³ + 1000 é a soma de dois cubos. 

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: 

a³ + 103, assim: x = a e y = 10 
Agora basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições. 

(x + y) (x² - xy + y²) 
(a + 10) (a² – a10 + 10²) 
(a + 10) (a² – 10a + 100) 

Portanto, a fatoração de a³ + 10³ será (a + 10) (a² – 10a + 100). 

Exemplo 2: 
27x³ + 1 é a soma de dois cubos. 
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: 

(3x)³ + 1 assim: x = 3x e y = 1 
Agora basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições. 

(x + y) (x² - xy + y²) 

(3x + 1) ((3x)² – 3x .1 + 1²) 

(3x – 1) (9x² – 3x + 1) 

Exemplo 3: 
8x³ + y³ é a soma de dois cubos. 
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: 

(2x)³ + y³ assim: x = 2x e y = y 
Agora basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições. 

(x + y) (x² - xy + y²) 

(2x + y) ((2x)² – 2xy + y²) 

(2x + y) (4x² – 2xy + y²)

Diferença de dois cubos

A diferença de dois cubos é caso de fatoração de expressões algébricas, o seu raciocínio é o mesmo da soma de dois cubos, raciocínio esse que esclarece como e quando devemos utilizá-lo, observe a demonstração abaixo: 

Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas. 

(x - y) (x2 + xy + y2) é necessário utilizar a propriedade distributiva; 

x3 + x2y + xy2 - x2y –xy2 - y3 unir os termos semelhantes; 

x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos. 

Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde 

x e y podem assumir qualquer valor real. 

A forma fatorada de x3 - y3 será (x - y) (x2 + xy + y2). 

Veja alguns exemplos: 

Exemplo1 

Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 8x3 – 27, devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos. 

No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos deveremos escrever a expressão algébrica 8x3 – 27 da seguinte forma: 

(x - y) (x2 + xy + y2). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 8x3 – 27 

A raiz cúbica de 8x3 é 2x e a raiz cúbica de 27 é 3. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada 

(x - y) (x2 + xy + y2) , ficando assim: 

(2x – 3) ((2x)2 + 2x . 3 + 32) 

(2x – 3) (4x2 + 6x + 9) 

Então, (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x3 – 27. 

Exemplo 2 

Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica r3 – 64 temos: As raízes cúbicas de r3 é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de x o r e no lugar de y o 4. 

(r – 4) (r2 + 4r + 16) é a forma fatorada de r3 – 64.