Frações Algébricas

Fração algébrica, em álgebra elementar, é uma fração em que contém incógnita no denominador. Em, a incógnita no denominador, faz com que a fração seja algébrica. Essa terminologia de fração, indica o quociente de polinômios. Nela, uma ou mais variáveis aparecem no denominador.

O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.

Simplificação de frações algébricas:

   

 A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número, isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma fração mais simples e equivalente. Observe os exemplos: 

Com base nesse mesmo procedimento, simplificamos frações algébricas que apresentam fatores em comum. Veja exemplos: 

Cálculo do m.m.c de polinômios

O mínimo múltiplo comum de números naturais ou de polinômios será encontrado através da comparação dos fatores de cada fatoração, ou seja, o mmc de um número natural ou de um polinômio é a multiplicação dos fatores sem repetir os comuns, levando em consideração os de maior expoente. 


Exemplo: Ao calcularmos o mmc de 8 e 18 é preciso fatorar o 8 e o 18 em fatores primos, ficando da seguinte forma: 

8 = 2 * 2 * 2 = 2³. Sendo 2³ o único fator dessa fatoração. 

18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 3². Sendo 2 e 32 os fatores dessa fatoração. 

Os fatores comum são 2³ e 2, dessa forma consideramos o 2³. Assim, o mmc de 8 e 18 será igual a 2³ * 3² = 72. 

Exemplo: mmc de 9xy e 12 xy². Fatoramos separadamente cada monômio. 

9xy = 3² * x * y. Sendo 3² e x e y os fatores dessa fatoração. 

12xy² = 2² * 3 * x * y². Sendo 2² e 3 e x e y² os fatores dessa fatoração. 

Os fatores comum são 3² e 3, x e x, y e y², seguindo a regra iremos considerar 3², x, y². 
Dessa forma, podemos dizer que o mmc de 9xy e 12xy² é igual a 3² * 2² * x * y² = 36xy². 

Exemplo: mmc de x² + 1 e x² – 2x + 1. Fatoramos separadamente cada polinômio. 

x² – 1 = (x + 1) * (x – 1) 

x² – 2x + 1 = (x – 1)² 

Os fatores comum são (x – 1)² e (x – 1), seguindo a regra iremos considerar (x – 1)². Dessa forma, podemos dizer que o mmc de x² + 1 e x² – 2x + 1 é igual a (x + 1) * (x –1)². 

A utilização do MMC de polinômios está diretamente ligada às resoluções de equações fracionárias algébricas, pois esse tipo de equação traz em seu denominador monômios, binômios, trinômios ou polinômios. Dessa forma, se uma equação fracionária algébrica apresentar denominadores diferentes, utilizaremos o MMC de polinômios. Observe uma aplicação do mmc de polinômios na resolução de uma equação. 

Exemplo 1

   

Adição e subtração com frações algébrica:

   

 Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.

Ex:   

x + y    +   2x + y    =  3x + 2y

     z              z               z

    Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores.

Ex:   

a + b  +  2a + 3b   =    a + b  +  2(2a + 3b)    =    a + b    +   4a + 6b =  5a + 7b

    4              2              4               4                   4                4              4

Multiplicação e divisão de frações algébricas

    

Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.

Exemplos: