Objetivo: Representar e resolver equações polinomiais geometricamente.
Pré-requisitos: Operações fundamentais, equações e área de figuras planas.
Material:
Cartolina de duas cores para recortar:
- 4 quadrados de cada cor medindo (8x8) cm;
- 12 retângulos de cada cor medindo (8x2) cm;
- 20 quadrados de cada cor medindo (2x2) cm.
Procedimentos: Deve-se codificar uma cor como positivo e a outra como negativo, padronizando o material.
Inicia-se expondo as medidas dos lados de cada figura, de forma que calculem as suas áreas e em seguida iniciar a substituição dos números pelas incógnitas. Sendo assim, se 8*8 = 64, 2*8 = 16 e 2*2 = 4, substituindo 8 por x e 2 por y, por exemplo, teríamos que: x*x = x2 , y*x = yx e y*y = y2.
Dado isto, o professor dá alguns exemplos como: 3x2,
2xy, 3y2 ou y2 + 2xy, etc. E deve mostrar também a situação nula, que se dá através da junção de peças iguais, porém de cores diferentes. Então, (considerando o cinza positivo e o pontilhado negativo) temos:
Podemos representar polinômios de diferentes sinais e polinômios opostos.
Por exemplo: 3x2
– 4xy + 2y2 e seu oposto –3x2
+ 4xy – 2y2.
Partindo daí, pode-se fazer a soma e a subtração de polinômios, dada pela troca de todos os sinais do polinômio a ser subtraído.
Por exemplo: 3x2
– 4xy + 2y2 – (2x2 – 2xy + 2y2)= 3x2
– 4xy + 2y2 – 2x2 + 2xy – 2y2 = x2
– 2xy
Temos que figuras iguais de cores diferentes se anulam, então:
Para a multiplicação trabalharemos com resolução de áreas.
Tentaremos através de áreas, resolver, por exemplo:
(x).(x + 2y).
Observando o resultado do cálculo de áreas por pedaços temos: x2
+ xy + xy = x2 + 2xy.
Desta forma podemos testar inúmeros exemplos, como: (x + 5y ).(x + 3y)
Ficaria assim, e a soma das áreas destas figuras jamais daria como resposta a multiplicação deste polinômio. Para tanto, se faz necessário que acrescentemos figuras proporcionais ao lado até que se complete um retângulo.
Portanto:
Obtemos então (de cima para baixo): x2 + 5xy + xy + 5y2 + xy + 5y2
+ xy + 5y2 = x2 + 8xy + 15y2
Resolvendo pela álgebra ficaria:
(x+5y).(3y+x)= 3xy + x2 + 15y2 + 5xy =
x2 + 8xy + 15y2. Confere!
Pudemos constatar que em caso de multiplicação e divisão de polinômios não se utiliza de positivos e negativos, por estarmos trabalhando com áreas, e neste caso poderia acontecer o x ser positivo em um lado, mas em outro negativo, o que dificultaria a representação.
Divisão: em caso de divisão também há algumas restrições para se trabalhar de forma concreta (como todo material didático, este também é limitado); em geral, todo professor inicia a divisão de polinômios utilizando-se de polinômios exatos, muitas vezes a matéria se restringe a isso. Para tal, o material também é utilizável sem problemas.
Iniciaremos com um exemplo de divisão exata: (x2 + 4xy +3y2) : (x + y).
Então:
Temos que (x + y).(x + 3y) = x2 + 4xy + 3y2
Portanto x + 3y é a resposta da divisão.
Pela lei da reversibilidade temos que, se um polinômio a, dividido por um polinômio z, é igual a y (a : z = y), então a : y = z, quando a divisão é exata.
Usando o exemplo já utilizado na divisão de polinômios temos: (x2 + 4xy + 3y2) : (x + y) = (x + 3y), se
(x + y).(x + 3y) = (x2 + 4xy + 3y2),
então: (x2 + 4xy + 3y2) : (x + 3y) = (x + y)
Vamos agora para uma divisão com resto: (x2 + 6xy + 4y2)
O sistema de resolução é o mesmo; devemos tenta diferença é que neste caso devemos adicionar simétricos para preencher a parte que fica incompleta. Vejamos:
Então, (x2 + 6xy + 4y2) : (x + y) = (x + 5y) e sobra -y2 de resto, ou seja, (x + y).(x + 5y) = (x2 + 6xy + 4y2) + y2
Podemos trabalhar polinômios de grau três, mas para isso teremos que usar poliedros como cubos, paralelepípedos retângulos. E para polinômios de grau maior que três não é possível representar, pois nos limitamos à terceira dimensão.
