Atividade Lúdica - Cartões de Polinômios

FONTE

Objetivo: Representar e resolver equações polinomiais geometricamente.

Pré-requisitos: Operações fundamentais, equações e área de figuras planas.

Material:
Cartolina de duas cores para recortar:

• 4 quadrados de cada cor medindo (8x8) cm;
• 12 retângulos de cada cor medindo (8x2) cm;
• 20 quadrados de cada cor medindo (2x2) cm.

Procedimentos: Deve-se codificar uma cor como positivo e a outra como negativo, padronizando o material.

Inicia-se expondo as medidas dos lados de cada figura, de forma que calculem as suas áreas e em seguida iniciar a substituição dos números pelas incógnitas. Sendo assim, se 8*8 = 64, 2*8 = 16 e 2*2 = 4, substituindo 8 por x e 2 por y, por exemplo, teríamos que: x*x = x² , y*x = yx e y*y = y².

 

Dado isto, o professor dá alguns exemplos como: 3x², 2xy, 3y² ou y² + 2xy, etc. E deve mostrar também a situação nula, que se dá através da junção de peças iguais, porém de cores diferentes. Então, (considerando o cinza positivo e o pontilhado negativo) temos: 

Podemos representar polinômios de diferentes sinais e polinômios opostos. Por exemplo: 3x² – 4xy + 2y² e seu oposto –3x² + 4xy – 2y². 

Partindo daí, pode-se fazer a soma e a subtração de polinômios, dada pela troca de todos os sinais do polinômio a ser subtraído. 

Por exemplo: 3x² – 4xy + 2y² – (2x² – 2xy + 2y²)= 3x² – 4xy + 2y² – 2x² + 2xy – 2y² = x² – 2xy

 

 

Temos que figuras iguais de cores diferentes se anulam, então:

Para a multiplicação trabalharemos com resolução de áreas. Tentaremos através de áreas, resolver, por exemplo: (x).(x + 2y). 

Observando o resultado do cálculo de áreas por pedaços temos: x² + xy + xy = x² + 2xy.

Desta forma podemos testar inúmeros exemplos, como: (x + 5y ).(x + 3y)

 

Ficaria assim, e a soma das áreas destas figuras jamais daria como resposta a multiplicação deste polinômio. Para tanto, se faz necessário que acrescentemos figuras proporcionais ao lado até que se complete um retângulo. 

Portanto:

Obtemos então (de cima para baixo): x² + 5xy + xy + 5y² + xy + 5y² + xy + 5y² = x² + 8xy + 15y²

Resolvendo pela álgebra ficaria: 

(x+5y).(3y+x)= 3xy + x² + 15y² + 5xy = x² + 8xy + 15y². Confere!

Pudemos constatar que em caso de multiplicação e divisão de polinômios não se utiliza de positivos e negativos, por estarmos trabalhando com áreas, e neste caso poderia acontecer o x ser positivo em um lado, mas em outro negativo, o que dificultaria a representação. 

Divisão: em caso de divisão também há algumas restrições para se trabalhar de forma concreta (como todo material didático, este também é limitado); em geral, todo professor inicia a divisão de polinômios utilizando-se de polinômios exatos, muitas vezes a matéria se restringe a isso. Para tal, o material também é utilizável sem problemas. 

Iniciaremos com um exemplo de divisão exata: (x² + 4xy +3y²) : (x + y). 

Para resolver deve-se tentar encaixar as peças de forma a formar um retângulo, e que um dos lados deste retângulo seja  x + y.

Então:

Temos que (x + y).(x + 3y) = x² + 4xy + 3y²

Portanto x + 3y é a resposta da divisão.


Pela lei da reversibilidade temos que, se um polinômio a, dividido por um polinômio z, é igual a y (a : z = y), então a : y = z, quando a divisão é exata.
Usando o exemplo já utilizado na divisão de polinômios temos:  (x² + 4xy + 3y²) : (x + y) = (x + 3y), se

(x + y).(x + 3y) = (x² + 4xy + 3y²), então: (x² + 4xy + 3y²) : (x + 3y) = (x + y)

Vamos agora para uma divisão com resto: (x² + 6xy + 4y²) 

O sistema de resolução é o mesmo; devemos tenta diferença é que neste caso devemos adicionar simétricos para preencher a parte que fica incompleta. Vejamos:

 

Então, (x² + 6xy + 4y²) : (x + y) = (x + 5y) e sobra -y² de resto, ou seja, (x + y).(x + 5y) = (x² + 6xy + 4y²) + y²

Podemos trabalhar polinômios de grau três, mas para isso teremos que usar poliedros como cubos, paralelepípedos retângulos. E para polinômios de grau maior que três não é possível representar, pois nos limitamos à terceira dimensão.