Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os produtos notáveis.
Aqui estudaremos
- O quadrado da soma de dois termos,
- O quadrado da diferença de dois termos,
- O produto da soma pela diferença de dois temos,
- O cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos.
1. O quadrado da soma de dois termos
(a + b)2 = (a + b) . (a + b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
2. O quadrado da diferença de dois termos
Seguindo o critério do item anterior, temos:
(a - b)2 = (a - b) . (a - b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
3. O produto da soma pela diferença de dois termos
Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
- (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2
- (x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2
- (m + n).(m – n) = m2 – n2
4. O cubo da soma de dois termos
Consideremos o caso a seguir:
(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.
(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.
Exemplos:
- (2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3
- (w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 + 27z3
- (m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3
5. O cubo da diferença de dois termos
Acompanhem o caso seguinte:
(a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base.
(a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.
Exemplos:
- (2 – y)3 = 23 – 3.(22).y + 3.2.y2 – y3 = 8 – 12y + 6y2 – y3 ou y3– 6y2 + 12y – 8
- (2w – z)3 = (2w)3 – 3.(2w)2.z + 3.(2w).z2 – z3 = 8w3 – 12w2z + 6wz2 – z3
- (c – d)3 = c3 – 3c2d + 3cd2 – d3
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